Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.
— | pitel:isz:numericke_metody_a_matematicka_pravdepodobnost [30. 12. 2022, 13.43:01] (aktuální) – vytvořeno - upraveno mimo DokuWiki 127.0.0.1 | ||
---|---|---|---|
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
+ | ====== Numerické metody a matematická pravděpodobnost ====== | ||
+ | ===== Numerické řešení algebraických a obyčejných diferenciálních rovnic ===== | ||
+ | ==== Soustava lineárních rovnic ==== | ||
+ | [[wp> | ||
+ | Jecobiho metoda převede soustavu rovnic do maticového tvaru, upraví ji (FIXME jak?) a následně ji násobí počátečním odhadem. Počáteční odhad je tudíž vektor (jednorozměrná matice, pole). Tím získá zpřesněný odhad, kterým opět násobí upravenou matici s rovnicemi. To opakuje dokud nedosáhneme požadované přesnosti. | ||
+ | |||
+ | Gauss-Seidelova metoda funguje podobně, jen se výsledek z každého výpočtu (nenásobí se celá matice) hned započítá do dalšího výpočtu. Je tedy rychlejší. | ||
+ | |||
+ | Obě metody konvergují jen tehdy, když je matice soustavy rovnic (ještě před úpravami) **ostře diagonálně dominantní**. To znamená, že pro každý prvek matice na hlavní diagonále je větší než součet všech zbylých prvků na stejném řádku, a zároveň je větší než součet všech zbylých prvků v témže sloupci. | ||
+ | |||
+ | ==== Jedna nelineární funkce ==== | ||
+ | === Půlení intervalů (dřevorubecká metoda) === | ||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | * Konverguje vždy | ||
+ | |||
+ | {{http:// | ||
+ | |||
+ | === Newtonova metoda (metoda tečen) === | ||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | * Nemusí konvergovat | ||
+ | |||
+ | {{http:// | ||
+ | |||
+ | === Regula Falsi (metoda sečen) === | ||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | * Nemusí konvergovat | ||
+ | |||
+ | {{http:// | ||
+ | |||
+ | ==== Diferenciální rovnice ==== | ||
+ | Diferenciální rovnice popisují rozličné (většinou fyzikální) děje. U některých typů rovnic lze nalézt analytické (přesné) řešení. U rovnic složitějších analytické řešení buď neexistuje nebo je obtížné jej nalézt. K tomu se ve výpočetní technice využívá některých numerických metod, která výsledek s určitou přesností aproximuje. Výsledkem výpočtu je například Taylorův rozvoj. Výpočet probíhá iterativně - vždy máme vzorec pro výpočet následujícího členu posloupnosti. Výpočet končí, když je rozdíl dvou následujícíh členů menší než požadovaná přesnost. | ||
+ | |||
+ | === Eulerova metoda === | ||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | {{http:// | ||
+ | Nejjednodušší metoda -- je nutné si pamatovat vzorec! Násleující člen vypočítáme pomocí vzorce | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | |||
+ | Přesnost Eulerovy metody je rovna velikosti integračního kroku //h//. | ||
+ | |||
+ | Základní princip je takový, že spočítáme derivaci (směrnici přímky) a s touto směrnicí se pousneme o krok //h//. Opět spočítáme směrnici, a opět se posuneme... Jak vidno na obrázku, docela to ustřeluje od původní funkce. | ||
+ | |||
+ | === Metoda Runge-Kutta === | ||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | Pokud se mluví o metodě Runge-Kutta, | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | < | ||
+ | < | ||
+ | < | ||
+ | < | ||
+ | |||
+ | // | ||
+ | |||
+ | Přesnost RK4 je // | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | |||
+ | <note important> | ||
+ | |||
+ | ==== Chyby numerických metod ==== | ||
+ | {{chyba_num_met.png? | ||
+ | Při každé aproximaci musíme počítat s faktorem chyby. Známe chyby dvojího typu -- lokální a akumulované. Lokální chyby vznikají v každém kroku a může jít buď o chybu zaokrouhlovací (round-off error) nebo o chybu numerické aproximace (truncation error). Akumulované chyby se sbírají po celou dobu vypočtu. | ||
+ | |||
+ | Přesnost výpočtu je závislá na velikosti integračního kroku. Neplatí však, že čím menší krok, tím vyšší přesnost. Při zmenšení kroku pod určitou hodnotu dojde k velkému nárustu chyby numerické aproximace (je to záležitost toho jak počítač reprezentuje data a že bude mít málo platných číslic -- viz [[binary# | ||
+ | |||
+ | ==== Vícekrokové numerické metody ==== | ||
+ | K výpočtu následujícího členu je využito předchozích výsledků. Jejich slabina spočívá v pomalém " | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | |||
+ | ===== Rozložení pravděpodobnosti ===== | ||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | Označení **f(x)** je používáno pro **hustotu rozdělení pravděpodobnosti**, | ||
+ | |||
+ | <note tip> | ||
+ | |||
+ | ==== Rovnoměrné rozložení ==== | ||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | Obvykle označujeme R(a,b), kde //a// je nejmenší možná hodnota náhodné proměnné X, //b// je největší. V normálové formě R(0,1) je základem pro generování dalších rozložení. | ||
+ | |||
+ | {{rovnomerne_rozlozeni.png}} | ||
+ | |||
+ | ==== Exponenciální rozložení ==== | ||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | Používá se pro reprezentaci rozložení doby obsluhy zařízení, | ||
+ | |||
+ | {{exponencialni_rozlozeni.png}} | ||
+ | |||
+ | ==== Normální (Gausovo) rozložení ==== | ||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | Odpovídá jevům s vlivem většího počtu nezávislých faktorů. První parametr je střed, tzn. bod, ve kterém je hustota největší. Druhý parametr určuje v podstatě výšku tohoto bodu (opět přes funkci hustoty). | ||
+ | |||
+ | {{normalni_rozlozeni.png}} | ||
+ | |||
+ | ==== Pearsonovo rozložení | ||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | Celým názvem Pearsonovo rozložení χ< | ||
+ | |||
+ | {{pearsonovo_rozlozeni.png}} | ||
+ | |||
+ | ===== Generování pseudonáhodných čísel ===== | ||
+ | Základem je kvalitní generátor rovnoměrného rozložení. Transformací rovnoměrného rozložení zísáme soubor čísel jiného rozložení. Řešíme problém mezí náhodností a pseudonáhodností. Pomocí počítače lze generovat i náhodná čísla, ale potřebujeme k tomu například speciální hardware, protože počítač (procesor) je deterministický stroj, takže čísla, která generuje, jsou též deterministická. Charakteristika pseudonáhodných čísel je taková, že pro stejný základ je přístí generované číslo stejné. Generování náhodných čísel je navíc pomalé. Algoritmické generátory generují pseudonáhodná čísla daleko vyšší rychlostí. | ||
+ | |||
+ | ==== Kongruentní generátory ==== | ||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | Pro generování čísel používají vztah | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | |||
+ | kde konstanty //a//, //b// a //m// musí mít vhodné hodnoty -- hlavně musí být nesoudělné! Obvykle se užívá vyšších prvočísel. Generují rovnoměrné rozložení. Výsledkem je konečná posloupnost -- po určitém počtu vygenerovaných hodnot se začne opakovat (perioda generátoru). | ||
+ | |||
+ | ===== Shrnutí (osnova) ===== | ||
+ | ==== Numerické metody ==== | ||
+ | * soustava lineárních algebraických rovnic: jacobiho metoda, gauss seidler | ||
+ | * jedna algebraická nelineární: | ||
+ | * jednoduchá diferenciální (složité se dají převést): eulerova metoda, runge-kutta | ||
+ | |||
+ | ==== Pravděpodobnost ==== | ||
+ | * rozložení definováno hustotou, distribuční funkce | ||
+ | * normální, exponenciální, | ||
+ | * náhodné vs pseudonáhodné | ||
+ | * kongruentní generátor | ||
+ | * převod do rozdělení pravděpodobnosti: |