Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.
— | pitel:isz:mnoziny [30. 12. 2022, 13.43:01] (aktuální) – vytvořeno - upraveno mimo DokuWiki 127.0.0.1 | ||
---|---|---|---|
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
+ | ====== Množiny, relace a zobrazení ====== | ||
+ | ===== Množina ===== | ||
+ | [[wp>Set (mathematics)]] | ||
+ | * Matematická struktura ve které se prvky neopakují, soubor objektů | ||
+ | * Může být uspořádaná nebo neuspořádaná (vetšinou neuspořádaná) | ||
+ | * Počet prvků definuje její velikost v případě, že je konečná. Jestliže máme dvě množiny A, B a existuje vzájemné přirazení prvků množiny B prvkům množiny A, pak říkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost. Množina stejné mohutnosti jakou má množina přirozených čísel se nazývá spočetná. Nekonečná množina, která není spočetná se nazývá nespočetná (příkladem nespočetné množiny je množina všech reálných čísel. Naproti tomu množiny celých čísel Z a racionálních čísel Q jsou obě spočetné.) | ||
+ | * [[wp> | ||
+ | * **Potenční množina** -- množina všech podmnožin (včetně prázdné a sama sebe), potenční množina množiny o //n// prvcích má 2< | ||
+ | * Například celá čísla, reálná čísla, racionální čísla... to jsou všechno množiny. | ||
+ | * Lze ji definovat výčtem nebo omezením | ||
+ | * **Uzavřenost množiny** -- když s prvky množiny provedu nějakou operaci, budou výsledkem zase prvky množiny. | ||
+ | ==== Operace s množinami ==== | ||
+ | === Sjednocení === | ||
+ | X ∪ Y = {x|x ∈ X ∨ x ∈ Y} | ||
+ | {{http:// | ||
+ | |||
+ | === Průnik === | ||
+ | X ∩ Y = {x|x ∈ X ∧ x ∈ Y} | ||
+ | |||
+ | {{http:// | ||
+ | |||
+ | === Rozdíl === | ||
+ | X \ Y = {x|x ∈ X ∧ x ∉ Y} | ||
+ | |||
+ | {{http:// | ||
+ | |||
+ | === Symetrická diference množin === | ||
+ | X ÷ Y = (X \ Y) ∪ (Y \ X) | ||
+ | |||
+ | {{http:// | ||
+ | ==== Vlastnosti operací ==== | ||
+ | === Komutativnost === | ||
+ | X ∪ Y = Y ∪ X\\ | ||
+ | X ∩ Y = Y ∩ X | ||
+ | |||
+ | Rozdíl komutativní není! | ||
+ | |||
+ | === Asociativita === | ||
+ | (X ∪ Y) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z)\\ | ||
+ | (X ∩ Y) ∩ Z = X ∩ (Y ∩ Z) | ||
+ | |||
+ | === Distributivnost === | ||
+ | (X ∪ Y) ∩ Z = (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z)\\ | ||
+ | (X ∩ Y) ∪ Z = (X ∪ Z) ∩ (Y ∪ Z) | ||
+ | |||
+ | === De Morganovy zákony === | ||
+ | < | ||
+ | < | ||
+ | |||
+ | ===== Relace ===== | ||
+ | [[wp> | ||
+ | * **Binární** -- vztah mezi 2 prvky z množin | ||
+ | * **Relace na množině** -- prvky množiny mají mezi sebou definované vztahy | ||
+ | |||
+ | * **[[wp> | ||
+ | * **[[wp> | ||
+ | * **[[wp> | ||
+ | * **[[wp> | ||
+ | * Pokud je relace reflexivní, | ||
+ | ===== Zobrazení ===== | ||
+ | Zobrazení je přířazení prvků jedné množiny k prvkům z druhé. Funkce je speciálním případem zobrazení. Každé x má svoje y: každý prvek ze zobrazované množiny má přiřazený nějaký jeden prvek z druhé množiny (do které se zobrazuje). Rozlišují se tři základní typy: | ||
+ | ==== Injektivní (prosté) ==== | ||
+ | Každý prvek z Y má namapován //nejvíce 1// prvek z X. | ||
+ | |||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | ==== Surjektivní ==== | ||
+ | Každý prvek z Y má namapován //alespoň 1// prvek z X. | ||
+ | |||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | ==== Bijektivní ==== | ||
+ | Každý prvek z Y má namapován //právě 1// prvek z X. | ||
+ | |||
+ | [[wp> | ||
+ | |||
+ | ===== Svaz ===== | ||
+ | Svaz je laicky uspořádatelná množina. U státnic ale řekneme, že množina X s relací R je svazem, pokud pro každou dvouprvkovou podmnožinu (v relaci R) lze definovat maximum a minimum. Btw. když jsou dva prvky stejné, tak to pořád je svaz (maximum i minimum jsou oba prvky). | ||
+ | |||
+ | Pozn.: tohle nebylo přímo zadané, ale bylo to na přijímačkách, | ||
+ | ===== Grupa ===== | ||
+ | Grupa je množina s binární operací a je na ni uzavřená. | ||
+ | |||
+ | Grupa splňuje tři axiomy: | ||
+ | - Asociativita: | ||
+ | - Existence neutrálního prvku: //a// + 0 = //a// | ||
+ | - Existence inverzních prvků: //a// + (−//a//) = 0 |