Zobrazení třeba z (ℂ, +) → (ℝ, ⊕).

f(a + b) = f(a) ⊕ f(b)
a, b ∈ ℂ

Když má ta struktura víc operací, musí se dokazovat pro všechny!

Jádro jsou ty prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. Pokud má jádro právě jeden prvek, je homomorfizmus injektivní.

g₁ ≡ g₂ ∧ h₁ ≡ h₂ ⇒ g₁ ★ h₁ ≡ g₂ ★ h₂

• ★ je libovolná operace ve struktuře
• ≡ znamená kongruence

Pravá kongruence: g₁ ≡ g₂ ⇒ g₁ ★ w ≡ g₂ ★ w

Aby to vůbec mohla být kongruence, musí platit relace ekvivalence!

1. Reflexivita: a ~ a
2. Symetrie: a ~ b ∧ b ~ a
3. Tranzitivita: a ~ b ∧ b ~ c ∧ c ~ a

Faktorové algebry

Mějme grupu G = (M, ☆). Pokud vytvoříme novou strukturu P = (N, ☆), kde N ⊂ M a P je stále grupa, říkáme jí podgrupa.

Normální podgrupa je, když m ☆ n ☆ m⁻¹¹⁾ ∈ P (m ∈ M, n ∈ N).

Mějme okruhy (R, ⊕, ⊗) a (I, ⊕, ⊗) kde I ⊂ R.

I je pak ideálem R, pokud platí:

• (I, ⊕) je podgrupou (R, ⊕)
• ∀ x ∈ I, ∀ r ∈ R: x ⊗ r ∈ I (pravý ideál)
• ∀ x ∈ I, ∀ r ∈ R: r ⊗ x ∈ I (levý ideál)

Pokud platí jen jedna z posledních dvou podmínek, je to pravý (levý) ideál.