Modelování spojitých systémů

(bloková schémata, rovnice, numerické metody a jejich vlastnosti)

Části převzaté z Principy modelování a simulace systémů.

Spojité systémy mají chování specifikované pro každý okamžik v čase. Chování je tedy funkcí závislou na čase, může jít např. o diferenciální rovnice. Simulace na číslicových systémech je diskrétní, postupuje se v čase po nějakých malých časových krocích. Délka kroku může být proměnlivá v závislosti na velikosti (odhadu) chyby způsobené diskretizací.

Řízení simulace je jednoduché:

1. inicializace počátečních podmínek
2. posun v čase o krok dopředu
3. vypočítání nových stavů všech proměnných v systému
4. goto 2

Většinou je simulace prováděna po určitý koncový čas. Aby simulace doběhla přesně do tohoto času, je nutné při posledním kroku dokročit. Poslední krok simulace je prodloužen tak, aby končil až v koncovem čase.

Soustava rovnic může být spojitým modelem, pokud některé z proměnných či koeficientů jsou závislé na čase. Soustavu rovnic lze reprezentovat pomocí blokového schématu, sestaveného následovně:

• vstupní a výstupní proměnné jsou vstupem a výstupem blokového schématu
• pokud je nějaká proměnná potřebná na vstupu více bloků, je její spoj větvený a přivedený do těchto bloků
• bloky mohou být integrátory, sčítačky, násobičky různými koeficienty
• koeficienty mohou být:
  • nezávislé na čase (stacionární systémy)
  • časově proměnné
  • konstantní (lineární systémy)
  • nelineární funkce (nelineární systémy)
• zpětná vazba: pokud nějaký prvek potřebuje jako vstup hodnotu, která je závislá na jeho výstupu (typicky u integrátorů)

Mějme rovnici <m>y prime prime - 2y prime + y = x</m>. Metodou snižování řádů derivaci získáme následující rovnice:

• <m>y prime prime = 2y prime - y + x</m>
• <m>y prime = int{}{}{y prime prime}</m>
• <m>y = int{}{}{y prime}</m>

Blokové schéma pak bude vypadat následovně:

Numerické metody poskytují diskrétní řešení diferenciálních rovnic. Obvykle je implementovaný prvek označovaný jako integrátor, který řeší obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu, která má obvykle tvar (obecně může být neznámá i jiná než t, ale při simulacích jde logicky o čas):

<m>y prime = f(t, y)</m>

Význam této rovnice je takový, že změna hodnoty proměnné je závislá na čase a aktuálním stavu. Po integrátoru se v každém čase simulace požaduje zjistit další hodnotu proměnné. K tomu integrátor využívá nějakou numerickou metodu.

• jednokrokové vs. vícekrokové (ty při výpočtu uvažují několik předchozích stavů)
• implicitní vs. explicitní ( implicitní vyžadují k výpočtu aktuálního stavu i aktuální stav - nevím, co to znamená při výpočtu)

Jednokroková. Pouze první člen Taylerova rozvoje:

<m>y_{t+h} = y_t + hf(t, y_t)</m>, kde t je aktuální čas a h je velikost kroku.

Třída jednokrokových metod, které se liší „řádem“, tedy počtem mezikroků. Všechny se vyznačují tím, že počítají několik bodů uvnitř následujícího kroku a výsledek je vážený průměr těchto bodů.

• Nestabilní metoda: při určité velikosti kroku se výsledky neustále vzdalují od přesného řešení.
• Každá metoda má jinak definovanou oblast stability, což je plocha v komplexní rovině, na které leží vlastní čísla matice soustay dif. rovnic. eh?
• Některé metody jsou kvůli nevhodné oblasti nepoužitelné pro tuhé systémy, protože by bylo potřeba použít příliš krátky integrační krok (⇒ neefektivní).

Pro použití u tuhých systému jsou vhodné metody, které jsou stabilní pro celou komplexní polorovinu „nalevo“ od počátku.

Rovnice obsahující derivace podle více proměnných. Řád určuje nejvyšší derivace. Vstupy do simulace jsou:

• Počáteční podmínky, tedy hodnoty proměnných v čase 0.
• Okrajové podmínky, tedy omezující podmínky pro některé proměnné, které omezují řešení rovnic na určitou „oblast“ (interval hodnot pro tuto proměnnou). Příkladem je např. model kmitající struny, která má danou délku a na krajích je upevněna. Okrajové podmínky pro výchylku i derivaci výchylky jsou nastaveny pevně na 0.

• metoda konečných diferencí
• metoda přímek
• metoda konečných prvků
• metoda konečných objemů
• metoda Monte-Carlo

• diference = lineární kombinace funkčních hodnot v okolních bodech
• oblast vyhraněná okrajovými podmínkami je pokryta sítí uzlových bodů
• v těchto bodech jsou derivace nahrazeny diferencemi
• řešení soustavy rovnic
• analogie ke konečnému automatu

• stejné jako metoda konečných diferencí, ale je derivace jedné proměnné je ponechána (zbylé proměnné jsou nahrazeny diferencemi)
• soustava obyč. diferenciálních rovnic, řešení numerickými metodami viz výše
• DSCT - discrete space continuous time - diference v prostoru, derivace zůstává u časové proměnné
• taky analogie ke konečnému automatu