Algebraické struktury

Mějme nějakou strukturou s nosnou množinou M a jedinou binární operací ☆: (M, ☆)

1. Pokud je struktura uzavřená (a ☆ b ∈ M pro libovolné a, b z M), pak je to grupoid.
2. Pokud navíc platí asociativita (a(bc) = (ab)c), je to pologrupa.
3. Pokud navíc existuje neutrální prvek (a ☆ NP = a), je to monoid. Neutrální prvek musí být jasně definovaný (např. je to prostře 42)! Může jich být i víc, ale stále musí být jasně definovaný (např. pro kladná čísla je to 42, pro zýporná 69).
4. Pokud navíc existuje inverzní prvek (a ☆ IP = NP), je to grupa. Inverzní prvek bývá definovaný předpisem, např. IP = x + 42.

Pokud je operace komutativní, říkáme že je struktura komutativní (např. komutativní grupoid). Pokud ale není komutativní, musíme určovat levý a pravý neutrální a inverzní prvek!

Nyní mějme strukturu se dvěma operacemi: (M, ⊕, ⊗). Té první se říká aditivní a té druhé multiplikativní.

Dále si označme jako „0“ neutrální prvek aditivní operace a „1“ neutrální prvek multiplikativní operace. V matematice základní školy to tak je, ale obecně „0“ nemusí být 0.

1. Pokud je (M, ⊕) komutativní grupa a (M, ⊗) monoid, je to okruh.
2. Pokud navíc neexistují dělitelé „0“ (a ⊗ b ≠ „0“ pro každé libovlné a a b z M), je to obor integrity.
3. Nebo pokud máme tělěso nebo obor integrity a v (M, ⊗) existují inverzní prvky pro všechno kromě „0“, je to těleso.
4. Pokud je tělěso komutativní, je to pole

Svaz je matematický pojem z algebry, konkrétněji z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají suprema a infima).

• Supremum je nejmenší prvek z horní závory.
• Infimum je největší prvek z dolní závory.
• Horní a dolní závora podmnožiny S nějaké částečně úsporádané množiny P je prvek z P který je větší (menší) nebo rovný než každy prvek z S.

Boolean algebra (structure)

Matematická struktura (A, ωᵢ)¹⁾.

• A je množina hodnot
• ωᵢ je nᵢ-ární operace na i pro i ∈ I.
• I je množina indexů

Typ algebry je uspořádaná n-tice označující aritu operací, např. (2, 2, 1) jsou dvě binární operace a jedna unární.