Obsah

Základní algebraické metody

Podalgebry

Pokud omezíme množinu algebry a všechny další vlastnosti zůstanou zachovány, dostáváme podalgebru.

Homomorfismy

Zobrazení třeba z (ℂ, +) → (ℝ, ⊕).

f(a + b) = f(a) ⊕ f(b)
a, b ∈ ℂ

Když má ta struktura víc operací, musí se dokazovat pro všechny!

Jádro jsou ty prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. Pokud má jádro právě jeden prvek, je homomorfizmus injektivní.

Přímé součiny

U₁ = (A₁, +), U₂ = (A₂, ·)
U₁ × U₂ = (A₁ × A₂, ☆)
(a₁, a₂) ☆ (b₁, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ · b₂)

Kongruence

g₁ ≡ g₂ ∧ h₁ ≡ h₂ ⇒ g₁ ★ h₁ ≡ g₂ ★ h

Pravá kongruence: g₁ ≡ g₂ ⇒ g₁ ★ wg₂ ★ w

Aby to vůbec mohla být kongruence, musí platit relace ekvivalence!

  1. Reflexivita: a ~ a
  2. Symetrie: a ~ bb ~ a
  3. Tranzitivita: a ~ bb ~ cc ~ a

Faktorové algebry

FIXME

Normální podgrupy

Mějme grupu G = (M, ☆). Pokud vytvoříme novou strukturu P = (N, ☆), kde NM a P je stále grupa, říkáme jí podgrupa.

Normální podgrupa je, když mnm⁻¹1)P (mM, nN).

Ideály okruhů

Mějme okruhy (R, ⊕, ⊗) a (I, ⊕, ⊗) kde IR.

I je pak ideálem R, pokud platí:

Pokud platí jen jedna z posledních dvou podmínek, je to pravý (levý) ideál.

1)
inverzní prvek