Pokud omezíme množinu algebry a všechny další vlastnosti zůstanou zachovány, dostáváme podalgebru.
Zobrazení třeba z (ℂ, +) → (ℝ, ⊕).
f(a + b) = f(a) ⊕ f(b)
a, b ∈ ℂ
Když má ta struktura víc operací, musí se dokazovat pro všechny!
Jádro jsou ty prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. Pokud má jádro právě jeden prvek, je homomorfizmus injektivní.
U₁ = (A₁, +), U₂ = (A₂, ·)
U₁ × U₂ = (A₁ × A₂, ☆)
(a₁, a₂) ☆ (b₁, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ · b₂)
g₁ ≡ g₂ ∧ h₁ ≡ h₂ ⇒ g₁ ★ h₁ ≡ g₂ ★ h₂
Pravá kongruence: g₁ ≡ g₂ ⇒ g₁ ★ w ≡ g₂ ★ w
Aby to vůbec mohla být kongruence, musí platit relace ekvivalence!
Mějme grupu G = (M, ☆). Pokud vytvoříme novou strukturu P = (N, ☆), kde N ⊂ M a P je stále grupa, říkáme jí podgrupa.
Normální podgrupa je, když m ☆ n ☆ m⁻¹1) ∈ P (m ∈ M, n ∈ N).
Mějme okruhy (R, ⊕, ⊗) a (I, ⊕, ⊗) kde I ⊂ R.
I je pak ideálem R, pokud platí:
Pokud platí jen jedna z posledních dvou podmínek, je to pravý (levý) ideál.