Fyzikální optika

Mechanické vlny mohou existovat pouze v látkovém prostředí a jejich pohyb je určen Newtonovými zákony. V případě příčných (transverzálních) mechanických vln, jakými jsou například vlny na napnuté struně, kmitají částice prostředí kolmo ke směru postupu vlny. Při šíření podélných (longitudinálních) vln kmitají částice prostředí rovnoběžně se směrem postupu vlny.

Sinusová (harmonická) vlna, postupující ve směru osy x, je popsána vztahem

y(x, t) = y_m sin(kx − ωt),

kde y_m je amplituda, k je úhlový vlnočet, ω je úhlový kmitočet neboli úhlová frekvence a kx − ωt je fáze. Vlnová délka λ souvisí s k vztahem

k = 2π/λ.

Perioda T a frekvence f vlny jsou s úhlovou frekvencí ω vázány vztahy

ω/(2π) = f = 1/T.

Rychlost šíření vlny v je uvedenými parametry určena vztahem

v = ω/k = λ/T = λf

Jakákoliv funkce tvaru

y(x, t) = h(x − vt)

popisuje vlnu postupující ve směru osy x stálou rychlostí v (pro v > 0). Její tvar je určen konkrétním tvarem funkce h. Vlna postupující proti směru osy x je popsána funkcí h(x + vt).

Rychlost vlny, která postupuje na napnuté struně, je určena napětím struny τ a délkovou hustotou struny μ. Platí

v = sqrt(τ/μ).

Střední výkon vlny je střední rychlost změny energie v daném místě v důsledku jejího přenosu touto vlnou. V případě sinusové vlny v napnuté struně je střední výkon roven

P = (μvω²y_m²)/2.

Při současném šíření dvou nebo více vln v tomtéž prostředí je výchylka libovolné částice prostředí rovna součtu výchylek, které by této částici individuálně udělily jednotlivé vlny. Toto pravidlo se nazývá princip superpozice.

Libovolnou vlnu můžeme vyjádřit ve tvaru Fourierovy řady, tj. ve tvaru součtu vhodně zvolených sinusových vln.

Výchylky ve dvou vlnách postupujících na téže struně se sčítají nebo odčítají podle principu superpozice. Říkáme, že spolu interferují neboli že dochází k interferenci. Pokud se obě výchozí vlny shodují ve směru šíření, v amplitudě y_m a ve frekvenci f (a tedy mají také stejnou vlnovou délku), avšak liší se fázovou konstantou φ, vzniká interferencí jediná vlna stejné frekvence:

y′(x, t) = 2y_m cos(φ/2) sin(kx − ωt + φ/2).

Je-li φ = 0, vlny jsou ve fázi a jejich interference je (úplně) konstruktivní. Při φ = π rad jsou vlny v protifázi a jejich interference je (úplně) destruktivní.

Formálně můžeme vlnu y(x, t) popsat fázorem. Je to vektor, jehož velikost je rovna amplitudě vlny y_m a který se otáčí kolem počátku s úhlovou rychlostí rovnou úhlové frekvenci vlny ω. Projekcí rotujícího fázoru na svislou osu získáme výchylku y jednotlivých částic při šíření vlny.

Interferencí dvou identických sinusových vln, postupujících v opačných směrech, vznikají stojaté vlny. V případě struny s upevněnými konci jsou stojaté vlny popsány vztahem

y′(x, t) = 2y_m sin(kx) cos(ωt).

Stojaté vlny mají pevné polohy uzlů a kmiten. Uzel, resp. kmitna je poloha nulové, resp. maximální příčné výchylky struny.

Stojaté vlnění můžeme na struně vytvořit odrazem postupných vln na koncích struny. Na upevněných koncích se vytvářejí uzly vlny. Toto pravidlo omezuje frekvence stojatých vln, které lze na dané struně vybudit. Každou takovou přípustnou frekvenci nazýváme vlastní neboli rezonanční frekvencí a odpovídající stojatou vlnu nazýváme vlastním neboli rezonančním kmitem struny. V případě struny délky L s oběma konci upevněnými jsou vlastní frekvence určeny vztahem

f = v/λ = (nv)/(2L) pro n = 1, 2, 3, ….

Kmit příslušný n = 1 nazýváme základním kmitem neboli prvním harmonickým kmitem (první harmonickou). Kmit odpovídající n = 2 je druhý harmonický kmit. Podobně pro vyšší hodnoty n.

Zvukové vlny jsou mechanické vlny šířící se pevným, kapalným nebo plynným prostředím. Mohou být podélné (kdekoliv) anebo příčné (pouze v pevných látkách). Rychlost zvukové vlny v v prostředí s modulem objemové pružnosti K a hustotou ρ, je

v = sqrt(K/ρ) (rychlost zvuku).

Ve vzduchu je při teplotě 20 °C rychlost zvuku 343 m/s.

Zvuková vlna způsobuje podélnou výchylku s částice prostředí podle vztahu

s(x, t) = s_m cos(kx − ωt),

kde s_m je amplituda výchylky (maximální výchylka z rovnovážné polohy), k = 2π/λ, ω = 2πf, λ je vlnová délka a f frekvence zvukové vlny. Zvuková vlna také způsobuje odchylku tlaku Δp prostředí od rovnovážného tlaku:

Δp(x, t) = Δp_m sin(kx − ωt),

kde amplituda tlaku je

Δp_m = (vρω)s_m.

Výsledek interference (skládání) dvou vln o stejné vlnové délce procházejících jedním bodem závisí na jejich fázovém rozdílu φ v tomto bodě. Jestliže jsou obě vlny emitovány ve fázi a šíří se (přibližně) stejným směrem, pak pro φ platí

φ = (ΔL2π)/λ,

kde ΔL je jejich dráhový rozdíl (rozdíl mezi vzdálenostmi, které obě vlny urazily do bodu setkání). Podmínky pro úplnou konstruktivní a destruktivní interferenci vln jsou dány vztahy

φ = 2πm, m = 0, ±1, ±2, … (konstruktivní interference)

a

φ = 2π(m + ½), m = 0, ±1, ±2, … (destruktivní interference).

Tyto vztahy odpovídají podmínkám

ΔL = mλ, m = 0, ±1, ±2, … (konstruktivní interference)

a

ΔL = (m + ½)λ, m = 0, ±1, ±2, … (destruktivní interference)

pro dráhový rozdíl ΔL.

Intenzita I zvukové vlny je průměrný výkon, s jakým prochází energie jednotkovou plochou kolmou na směr šíření:

I = P/S,

kde P je výkon (velikost energie přenesené zvukovou vlnou za jednotku času) a S je velikost plochy, na kterou zvuk dopadá. Intenzita I je svázána s amplitudou zvukové vlny s_m vztahem

I = (ρvω²s_m²)/2.

Intenzita ve vzdálenosti r od bodového zdroje vysílajícího zvukové vlny o výkonu P_Z je

I = P_Z/(4πr²).

Hladina intenzity zvuku β v decibelech dB je definována jako

β = (10 dB) log(I/I₀),

kde I₀ = 1 pW/m² je referenční hladina, ke které se všechny ostatní hodnoty vztahují. Každému zvýšení intenzity o desetinásobek odpovídá nárůst hladiny zvuku o 10 dB.

V trubicích lze vybudit stojaté vlnění. Trubice délky L otevřená na obou koncích bude rezonovat při frekvencích

f = v/λ= (nv)/2L, n = 1, 2, 3, … (otevřená trubice),

kde v je rychlost zvuku ve vzduchu uvnitř trubice. Trubice, která je otevřená jen na jedné straně a uzavřená na druhé, má vlastní frekvence

f = v/λ= (nv)/4L, n = 1, 3, 5, … (trubice otevřená jen na jedné straně).

Rázy vznikají při skládání dvou vln o blízkých frekvencích f₁ a f₂. Frekvence rázů je rovna

f_rázy = f₁ − f₂.

Při Dopplerově jevu se mění pozorovaná frekvence vlny tím, že se zdroj nebo detektor (nebo oba) pohybují vzhledem k prostředí. Pro zvuk je pozorovaná frekvence f′ vyjádřena pomocí frekvence zdroje f vztahem

f′ = f ((v ± v_D) / (v ∓ v_Z)) (obecný Dopplerův jev),

kde v_D, resp. v_Z je relativní rychlost detektoru, resp. zdroje vůči prostředí a v je rychlost zvuku v tomto prostředí. Znaménka jsou volena tak, aby f′ rostla při vzájemném pohybu zdroje a detektoru k sobě a klesala při jejich pohybu směrem od sebe.

Pokud rychlost zdroje vzhledem k prostředí překročí rychlost šíření zvuku v prostředí, pozbývá Dopplerova rovnice platnosti. V takovém případě dojde ke vzniku rázové vlny. Vrcholový úhel 2θ kuželové vlnoplochy je dán vztahem

sin(θ) = v/v_Z (Machův úhel).

Pokud se světelný zdroj a detektor pohybují vzájemnou rychlostí u ≪ c, bude naměřená frekvence světla f′ rovna

f′ = f (1 ± u/c),

kde f je frekvence, která by byla naměřena, pokud by zdroj a detektor byly navzájem v klidu. Vzájemná rychlost u je spojena s posuvem vlnové délky λ vztahem

u = (Δλ/λ)c

kde λ je vlnová délka při vzájemném klidu (u = 0). Pokud se zdroj a detektor pohybují směrem k sobě, je posuv Δλ záporný (modrý posuv), pokud se od sebe vzdalují, je posuv Δλ kladný (rudý posuv).

Oscilace elektrického a magnetického pole ve tvaru postupné vlny nazýváme elektromagnetickou vlnou. Všechny možné frekvence elektromagnetických vln tvoří spektrum. V něm jen úzká část přísluší viditelnému světlu. Elektromagnetická vlna šířící se ve směru osy x má elektrickou intenzitu E = (0, E, 0) a magnetickou indukci B = (0, 0, B). Obě pole jsou k sobě kolmá a jejich hodnoty závisejí na x a t:

E = E_m sin(kx − ωt),
B = B_m sin(kx − ωt),

kde E_m a B_m jsou amplitudy E a B. Elektrické pole je indukováno polem magnetickým a naopak. Rychlost elektromagnetických vln ve vakuu značíme c a platí

c = 1/sqrt(μ₀ε₀),
c = E/B,

kde E a B jsou okamžité hodnoty obou polí.

Množství energie přenesené elektromagnetickou vlnou za jednotku času jednotkovou plochou je dáno Poyntingovým vektorem S:

S = (1/μ₀) E × B.

Směr vektoru S (a tedy i směr šíření vlny a přenosu energie) je kolmý k rovině určené vektory E a B. Střední hodnotu energie S prošlé jednotkovou plochou za jednotku času nazýváme intenzita I. Je rovna

I = (1/cμ₀) E_ef²,

kde E_ef = E_m/sqrt(2). Bodový zdroj elektromagnetických vln vysílá vlny izotropně, tj. se stejnou intenzitou do všech směrů. Intenzita vln ve vzdálenosti r od bodového zdroje s výkonem P_s je

I = P_s/(4πr²).

Když dopadá elektromagnetické záření na nějaký povrch, působí na něj tlakem a výslednou silou. Pokud je záření zcela pohlceno, je velikost působící síly rovna

F = (IS)/c (úplné pohlcení),

kde I je intenzita záření a S je obsah plochy kolmé ke směru záření. Pokud je záření úplně odraženo, je velikost síly (v případě kolmého dopadu) rovna

F = (2IS)/c (úplný kolmý odraz).

Tlak záření p_r (radiační tlak) je síla na jednotku plochy:

p_r = I/c (úplné pohlcení)

a

p_r = 2I/c (úplný kolmý odraz).

Elektromagnetická vlna je polarizována, pokud její vektor E stále kmitá v jedné rovině – v rovině kmitů. Světelné vlny z běžných zdrojů nejsou polarizovány, jsou nepolarizované: jejich polarizace se mění náhodně a rychleji, než můžeme sledovat.

Když do dráhy světla umístíme polarizační destičku, projde jí pouze světlo polarizované rovnoběžně s jejím směrem polarizace. Složky kolmé ke směru polarizace jsou pohlceny. Světlo pak vychází z destičky s polarizací rovnoběžnou se směrem polarizace destičky.

Pokud je dopadající světlo nepolarizované, je intenzita I prošlého světla rovna polovině intenzity světla dopadajícího I₀:

I = I₀/2.

Pokud je dopadající světlo polarizováno, závisí prošlá intenzita na úhlu θ mezi směrem polarizace světla a destičky:

I = I₀ cos²θ.

Geometrická optika je přibližná metoda, v níž jsou světelné vlny aproximovány přímkovými světelnými paprsky.

Když světlo dopadá na rozhraní mezi dvěma průhlednými prostředími, dochází obvykle k odrazu a k lomu. Oba paprsky, odražený i lomený, zůstávají v rovině dopadu. Úhel odrazu je roven úhlu dopadu a úhel lomu je s úhlem dopadu spojen vztahem

n₂ sin θ₂ = n₁ sin θ₁ (lom),

kde n₁ = c/v₁ a n₂ = c/v₂ jsou indexy lomu prostředí, v nichž se šíří dopadající a lomený paprsek.

Vlna procházející rozhraním, na kterém se index lomu zmenšuje, bude úplně odražena (dojde k totální reflexi) tehdy, jestliže úhel dopadu překročí mezní úhel θ_m:

θ_m = arcsin(n₂/n₁) (mezní úhel).

Odražená vlna bude úplně polarizována s elektrickou intenzitou E kolmou k rovině dopadu, jestliže dopadne na rozhraní pod Brewsterovým úhlem θ_B:

θ_B = arctg(n₂/n₁) (Brewsterův úhel).

Obraz je reprodukce předmětu vytvořená světlem. Může-li se obraz vytvořit na nějakém povrchu (stínítku), jde o reálný obraz, který může existovat i tehdy, není-li přítomen pozorovatel. Jestliže vznik obrazu je podmíněn přítomností zrakové soustavy pozorovatele, jde o virtuální obraz.

Kulová zrcadla, kulové lámavé povrchy a tenké čočky mohou vytvářet obrazy světelného zdroje – předmětu změnou směru paprsků vycházejících ze zdroje. Obraz vzniká, jestliže se přesměrované paprsky protínají (při tvoření reálného obrazu), nebo když se protínají zpětně prodloužené paprsky (tvoření virtuálního obrazu). Jsou-li paprsky dostatečně blízké centrální ose, platí následující vztahy pro předmětovou vzdálenost p (která je kladná) a obrazovou vzdálenost i (která je kladná pro reálné obrazy a záporná pro virtuální obrazy):

1/p + 1/i = 1/f = 2/r,

kde f je ohnisková vzdálenost zrcadla a r je jeho poloměr křivosti. Rovinné zrcadlo je zvláštní případ kulového zrcadla, pro něž r → ∞, takže p = −i. Reálné obrazy se tvoří na téže straně zrcadla, kde je umístěn předmět, zatímco virtuální obrazy jsou na opačné straně.

n₁/p + n₂/i = (n₂ − n₁)/r (jeden povrch),

kde n₁ je index lomu prostředí, v němž je umístěn předmět, n₂ je index lomu na druhé straně lámavého povrchu a r je poloměr křivosti povrchu. Je-li předmět před vypuklým lámavým povrchem, je poloměr r kladný, je-li předmět před vydutým povrchem, je r záporné. Reálný obraz se vytvoří na opačné straně lámavého povrchu, než je předmět, virtuální obraz na téže straně jako předmět.

1/p + 1/i = 1/f = (n − 1)(1/r₁ − 1/r₂),

kde f je ohnisková vzdálenost čočky, n je index lomu materiálu čočky, r₁ a r₂ jsou poloměry křivosti obou stran čočky, což jsou kulové povrchy. Je-li předmět před vypuklým povrchem čočky, je poloměr křivosti kladný, je-li předmět před vydutým povrchem, je poloměr křivosti záporný. Reálné obrazy se vytvářejí na opačné straně čočky, než je předmět, virtuální obrazy na téže straně jako předmět.

Příčné zvětšení m při zobrazení kulovým zrcadlem nebo čočkou je

m = −i/p.

Velikost m je dána vztahem

|m| = h′/h,

kde h a h′ jsou výšky (měřené kolmo k centrální ose) předmětu a obrazu.

Tři optické přístroje zvětšující rozsah lidského vidění jsou:

jejíž úhlové zvětšení m_θ je dáno vztahem

m_θ ≐ 25 cm/f,

kde f je ohnisková vzdálenost čočky.

jehož celkové zvětšení M je

M = mm_θ = −(s 25 cm)/(f_ob f_ok),

kde m je příčné zvětšení objektivu, m_θ je úhlové zvětšení okuláru, s je délka optického intervalu mikroskopu, f_ob je ohnisková vzdálenost objektivu a f_ok je ohnisková vzdálenost okuláru.

jehož úhlové zvětšení m_θ je

m_θ = −f_ob/f_ok

Šíření vln v prostoru, včetně světla, můžeme často určit Huygensovým principem, podle kterého všechny body vlnoplochy slouží jako bodové zdroje kulových sekundárních vln. Po čase t bude poloha nové vlnoplochy určena tečnou plochou k těmto sekundárním vlnám.

Zákon lomu a odrazu můžeme odvodit z Huygensova principu pomocí předpokladu, že index lomu každého prostředí je n = c/v, kde v je rychlost světla v prostředí a c je rychlost světla ve vakuu.

Vlnová délka λ_n světla v prostředí závisí na jeho indexu lomu n:

λ_n = λ/n,

kde λ je vlnová délka světla ve vakuu. Vzhledem k této závislosti se může fázový rozdíl mezi dvěma vlnami změnit, jestliže vlny procházejí různými látkami s odlišnými indexy lomu.

Pokusy vytvořit úzký paprsek průchodem světla úzkou štěrbinou selhávají, protože difrakcí na štěrbině se světlo rozšíří i do oblasti geometrického stínu. Pro popis chování světla na štěrbině nedostačuje výklad pomocí geometrické optiky a musí se výhradně vycházet z metod vlnové optiky.

Světlo, které v Youngově interferenčním (dvojštěrbinovém) pokusu projde jednou štěrbinou, dopadá na dvě štěrbiny ve stínítku. Světlo vycházející z těchto štěrbin se rozbíhá (vlivem difrakce) a v oblasti za stínítkem interferuje. Interferencí vzniknou interferenční proužky na pozorovacím stínítku.

Intenzita světla v kterémkoli bodě stínítka závisí na rozdílu délek drah ze štěrbin k tomuto bodu. Jestliže je tento rozdíl roven celočíselnému násobku vlnových délek, dochází ke konstruktivní interferenci a vzniklá intenzita je maximální. Jestliže je roven lichému násobku poloviny vlnové délky, dochází k destruktivní interferenci a intenzita je minimální. Podmínky pro maximum a minimum intenzity jsou

d sin θ = mλ, když m = 0, 1, 2, … (maxima – světlé proužky),
d sin θ = (m + ½)λ, když m = 0, 1, 2, … (minima – tmavé proužky),

kde θ je úhel šíření světla se středovou osou o a d je mezera mezi štěrbinami.

Jestliže dvě prostupující se vlny vytvářejí pozorovatelný interferenční obrazec, nemění se s časem jejich fázový rozdíl, tzn. že vlny musí být koherentní. Když se dvě koherentní vlny v prostoru překrývají, můžeme nalézt výslednou intenzitu užitím fázorů.

V Youngově interferenčním experimentu dávají dvě vlny, každá o intenzitě I₀, výslednou vlnu, jejíž intenzita na stínítku je

I = 4I₀ cos²(φ/2), kde φ = (2πd sin(θ))/λ.

Když světlo dopadá na tenkou průhlednou vrstvu, vlny odražené od přední a zadní plochy interferují. Pro případ téměř kolmého dopadu jsou podmínky promaximum aminimum intenzity světla odraženého od vrstvy ve vzduchu

2h = (m + ½) λ/n₂, kde m = 0, 1, 2, … (maxima – vrstva ve vzduchu je světlá),
2h = mλ/n₂, kde m = 0, 1, 2, … (minima – vrstva ve vzduchu je tmavá),

kde n₂ je index lomu vrstvy, h je její tloušKka a λ je vlnová délka světla ve vzduchu.

Jestliže světlo dopadá na rozhraní mezi prostředími o různých indexech lomu z prostředí s nižším indexem lomu, odraz způsobí v odražené vlně fázovou změnu π rad, tj. polovinu vlnové délky. V jiných případech nedochází při odrazu ke změně fáze. Lom na rozhraní nezpůsobí fázové posunutí.

V Michelsonově interferometru je světelná vlna rozdělena na dvě vlny, které se po průchodu dráhami o různých délkách opět setkají, takže interferují a vytvářejí obrazec proužků. Změna délky dráhy jedné z vln dovoluje velmi přesně vyjádřit délku ve vlnových délkách světla spočtením proužků, o které se obrazec posune.

Dopadají-li vlny na hranu nebo na překážku či otvor, rozšíří se směry šíření těchto vln a dojde k interferenci. Tento jev se nazývá difrakce.

Vlny procházející dlouhou úzkou štěrbinou šířky a vytvářejí difrakční obrazec na štěrbině. Ten má centrální maximum a další maxima oddělená minimy. Měříme-li úhly od centrální osy, mají minima úhlovou souřadnici θ vyhovující rovnici

a sin θ = mλ, kde m = 1, 2, 3, … (minima).

Intenzita difrakčního obrazce pod libovolným úhlem θ je

I = I_max ((sin α)/α)², kde α = πa/λ sin θ

a I_max je intenzita ve středu obrazce.

Difrakce na kruhovém otvoru nebo čočce o průměru d vytváří centrální maximum a soustředná maxima a minima. První minimum je pod úhlem θ určeným rovnicí

sin θ = 1,22λ/d (první minimum; kruhový otvor).

Rayleighovo kritérium říká, že dva objekty jsou na hranici rozlišení, jestliže centrální difrakční maximum jednoho padne do prvního minima druhého. Úhlová vzdálenost objektů musí být alespoň

θ_R = 1,22λ/d (Rayleighovo kritérium),

kde d je poloměr apertury.

Vlny procházející dvěma štěrbinami, z nichž každá má šířku a a mezi jejichž středy je vzdálenost d, vytvářejí difrakční obrazec. Jeho intenzitu I jako funkci úhlu θ udává vztah

I = I_max (cos² β) ((sin α)/α)² (dvojštěrbina),

kde β = (πd/λ) sin θ a α má týž význam jako při difrakci na jedné štěrbině.

Difrakce na N (mnoha) štěrbinách dává maxima (čáry) pod úhly θ určenými rovnicí

d sin θ = mλ, kde m = 0, 1, 2, … (maxima)

s pološířkou čar danou výrazem

Δθ_½ = λ/(Nd cos θ) (pološířka čáry difraktované ve směru θ).

Difrakční mřížka je soustava „štěrbin“ používaná k rozložení vlny do složek o různých vlnových délkách tím, že oddělí a roztáhnou difrakční maxima těchto složek. Mřížku charakterizuje její disperze D a rozlišovací schopnost R:

D = Δθ/Δλ = m/(d cos θ),
R = λ_stř/Δλ = Nm.

Pravidelné uspořádání atomů v krystalu představuje trojrozměrnou difrakční mřížku pro vlny s krátkou vlnovou délkou, tj. pro rentgenové záření. Pro účely analýzy si můžeme představit, že atomy jsou uspořádány v rovinách smezirovinnou vzdáleností d. V důsledku konstruktivní interference mohou vznikat difrakční maxima. Objevují se tehdy, když směr θ dopadu vlny měřený od těchto rovin a vlnová délka λ záření splňují Braggův zákon:

2d sin θ = mλ, kde m = 1, 2, 3, … (Braggův zákon).