====== Modelování spojitých systémů ======
(bloková schémata, rovnice, numerické metody a jejich vlastnosti)
----
Části převzaté z [[isz:principy_modelovani_a_simulace_systemu]].

Spojité systémy mají chování specifikované pro každý okamžik v čase. Chování je tedy funkcí závislou na čase, může jít např. o diferenciální rovnice. Simulace na číslicových systémech je diskrétní, postupuje se v čase po nějakých malých časových krocích. Délka kroku může být proměnlivá v závislosti na velikosti (odhadu) chyby způsobené diskretizací.

===== Řízení simulace =====

Řízení simulace je jednoduché:
   - inicializace počátečních podmínek
   - posun v čase o krok dopředu
   - vypočítání nových stavů všech proměnných v systému
   - goto 2

Většinou je simulace prováděna po určitý koncový čas. Aby simulace doběhla přesně do tohoto času, je nutné při posledním kroku dokročit. Poslední krok simulace je prodloužen tak, aby končil až v koncovem čase.

===== Bloková schémata =====
Soustava rovnic může být spojitým modelem, pokud některé z proměnných či koeficientů jsou závislé na čase. Soustavu rovnic lze reprezentovat pomocí blokového schématu, sestaveného následovně:

   * vstupní a výstupní proměnné jsou vstupem a výstupem blokového schématu
   * pokud je nějaká proměnná potřebná na vstupu více bloků, je její spoj větvený a přivedený do těchto bloků
   * bloky mohou být integrátory, sčítačky, násobičky různými koeficienty
   * koeficienty mohou být:
     * nezávislé na čase (stacionární systémy)
     * časově proměnné
     * konstantní (lineární systémy)
     * nelineární funkce (nelineární systémy)
   * zpětná vazba: pokud nějaký prvek potřebuje jako vstup hodnotu, která je závislá na jeho výstupu (typicky u integrátorů)

Mějme rovnici <m>y prime prime - 2y prime + y = x</m>. Metodou snižování řádů derivaci získáme následující rovnice:
  *<m>y prime prime = 2y prime - y + x</m>
  *<m>y prime = int{}{}{y prime prime}</m>
  *<m>y = int{}{}{y prime}</m>


Blokové schéma pak bude vypadat následovně:

{{http://www.stud.fit.vutbr.cz/~xurban06/schema.png?800}}

===== Numerické metody =====
Numerické metody poskytují diskrétní řešení diferenciálních rovnic. Obvykle je implementovaný prvek označovaný jako **integrátor**, který řeší obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu, která má obvykle tvar (obecně může být neznámá i jiná než t, ale při simulacích jde logicky o čas):

<m>y prime = f(t, y)</m>

Význam této rovnice je takový, že změna hodnoty proměnné je závislá na čase a aktuálním stavu. Po integrátoru se v každém čase simulace požaduje zjistit další hodnotu proměnné. K tomu integrátor využívá nějakou numerickou metodu.

==== Typy metod ====
   * jednokrokové vs. vícekrokové (ty při výpočtu uvažují několik předchozích stavů)
   * implicitní vs. explicitní (FIXME implicitní vyžadují k výpočtu aktuálního stavu i aktuální stav - nevím, co to znamená při výpočtu)

=== Eulerova metoda ===
Jednokroková. Pouze první člen Taylerova rozvoje:

<m>y_{t+h} = y_t + hf(t, y_t)</m>, kde t je aktuální čas a h je velikost kroku.

=== Runge-Kutta ===
Třída jednokrokových metod, které se liší "řádem", tedy počtem mezikroků. Všechny se vyznačují tím, že počítají několik bodů uvnitř následujícího kroku a výsledek je vážený průměr těchto bodů.

==== Stabilita ====
   * Nestabilní metoda: při určité velikosti kroku se výsledky neustále vzdalují od přesného řešení.
   * Každá metoda má jinak definovanou oblast stability, což je plocha v komplexní rovině, na které leží vlastní čísla matice soustay dif. rovnic. FIXME eh?
   * Některé metody jsou kvůli nevhodné oblasti nepoužitelné pro tuhé systémy, protože by bylo potřeba použít příliš krátky integrační krok (=> neefektivní).

Pro použití u tuhých systému jsou vhodné metody, které jsou stabilní pro celou komplexní polorovinu "nalevo" od počátku.

==== Parciální diferenciální rovnice ====
Rovnice obsahující derivace podle více proměnných. Řád určuje nejvyšší derivace. Vstupy do simulace jsou:
   * Počáteční podmínky, tedy hodnoty proměnných v čase 0.
   * Okrajové podmínky, tedy omezující podmínky pro některé proměnné, které omezují řešení rovnic na určitou "oblast" (interval hodnot pro tuto proměnnou). Příkladem je např. model kmitající struny, která má danou délku a na krajích je upevněna. Okrajové podmínky pro výchylku i derivaci výchylky jsou nastaveny pevně na 0.

=== Metody řešení parciálních diferenciálních rovnic ===
   * metoda konečných diferencí
   * metoda přímek
   * metoda konečných prvků
   * metoda konečných objemů
   * metoda Monte-Carlo

== Metoda konečných diferencí ==
   * diference = lineární kombinace funkčních hodnot v okolních bodech
   * oblast vyhraněná okrajovými podmínkami je pokryta sítí uzlových bodů
   * v těchto bodech jsou derivace nahrazeny diferencemi
   * řešení soustavy rovnic
   * analogie ke konečnému automatu

== Metoda přímek ==
   * stejné jako metoda konečných diferencí, ale je derivace jedné proměnné je ponechána (zbylé proměnné jsou nahrazeny diferencemi)
   * soustava obyč. diferenciálních rovnic, řešení numerickými metodami viz výše
   * DSCT - discrete space continuous time - diference v prostoru, derivace zůstává u časové proměnné
   * taky analogie ke konečnému automatu