====== Algebraické struktury ======
===== Grupy, okruhy, obory integrity a tělesa =====
{{ http://algebra.matfyz.info/1/struktury.jpg?500}}
Mějme nějakou strukturou s nosnou množinou //M// a jedinou binární operací ☆: (//M//, ☆)
  - Pokud je struktura //uzavřená// (//a// ☆ //b// ∈ //M// pro libovolné //a//, //b// z //M//), pak je to **grupoid**.
  - Pokud navíc platí //asociativita// (//a//(//bc//) = (//ab//)//c//), je to **[[wp>Semigroup|pologrupa]]**.
  - Pokud navíc existuje //neutrální prvek// (//a// ☆ //NP// = //a//), je to **[[wp>monoid]]**. Neutrální prvek musí být jasně definovaný (např. je to prostře 42)! Může jich být i víc, ale stále musí být jasně definovaný (např. pro kladná čísla je to 42, pro zýporná 69).
  - Pokud navíc existuje //inverzní prvek// (//a// ☆ //IP// = //NP//), je to **[[wp>Group (mathematics)|grupa]]**. Inverzní prvek bývá definovaný předpisem, např. //IP// = //x// + 42.

Pokud je operace komutativní, říkáme že je struktura komutativní (např. //komutativní grupoid//). Pokud ale není komutativní, musíme určovat levý a pravý neutrální a inverzní prvek!
----
Nyní mějme strukturu se dvěma operacemi: (//M//, ⊕, ⊗). Té první se říká //aditivní// a té druhé //multiplikativní//.

Dále si označme jako "0" neutrální prvek aditivní operace a "1" neutrální prvek multiplikativní operace. V matematice základní školy to tak je, ale obecně "0" nemusí být 0.
  - Pokud je (//M//, ⊕) //komutativní grupa// a (//M//, ⊗) //monoid//, je to **[[wp>Ring (mathematics)|okruh]]**.
  - Pokud navíc neexistují //dělitelé "0"// (//a// ⊗ //b// ≠ "0" pro každé libovlné //a// a //b// z //M//), je to **[[wp>Integral domain|obor integrity]]**.
  - Nebo pokud máme //tělěso// nebo //obor integrity// a v (//M//, ⊗) existují inverzní prvky pro všechno kromě "0", je to **těleso**.
  - Pokud je tělěso komutativní, je to **pole**
===== Svazy a Booleovy algebry =====
**[[wp>Lattice (order)|Svaz]]** je matematický pojem z algebry, konkrétněji z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány "rozumně" (to znamená, že zachovávají //suprema// a //infima//).

  * **[[wp>Supremum]]** je nejmenší prvek z //horní závory//.
  * **[[wp>Infimum]]** je největší prvek z //dolní závory//.
  * **[[wp>Upper and lower bounds|Horní a dolní závora]]** podmnožiny //S// nějaké částečně úsporádané množiny //P// je prvek z //P// který je větší (menší) nebo rovný než každy prvek z //S//.

----
**[[wp>Boolean algebra (structure)]]**
===== Univerzální algebry =====
Matematická struktura (//A//, //ωᵢ//)(((množina, operace, operace, operace, ...%%)%%)).
  * **//A//** je množina hodnot
  * **//ωᵢ//** je //nᵢ//-ární operace na //i// pro //i// ∈ //I//.
  * **//I//** je množina indexů

**Typ algebry** je uspořádaná //n//-tice označující aritu operací, např. (2, 2, 1) jsou dvě binární operace a jedna unární.