====== Metrické prostory ======
[[wp>Metric space]]

Existuje **[[wp>Metric (mathematics)|metrika]]**:
  * Musí vždy vyjít kladné číslo.
  * Pokud mají 2 body stejné souřadnice, musí vyjít 0.
  * Vzdálenost z bodu //A// do bodu //B// musí být stejná jako z bodu //B// do bodu //A//.
  * [[wp>Triangle inequality|Trojúhelníková nerovnost]].

**Otevřená [[wp>Ball (mathematics)|koule]]** je množina všech bodů které jsou od středu v menší vzdálenosti než poloměr. **Uzavřená koule** pak obsahuje i tu "slupku" kdy se vzdálensot rovná poloměru.
===== Příklady =====
Viz příklady na Wiki na začátku.

===== Konvergence posloupností =====
[[wp>Limit (mathematics)]]

Posloupnost je obecně uspořádaná //n//-tice.

Posloupnost **konverguje** k nějakému bodu, pokud od nějakého prvku //n//-tice věchny další prvky mají k tomu bodu lesající (nebo aspoň stejnou) vzdálenost. Tomu bodu ke kterému konverguje říkáme **limita**.

===== Spojitá a izometrická zobrazení =====
Mějme dva metrické prostory //M// = (//X//, //ρ//) a //M//′ = (//Y//, //ρ//′) a zobrazení //f//: //M// -> //M//′. Toto zobrazení je **spojite v bodě** //x//₀ ∈ //X//, pokud pro libovolné //ε// okolí lze najít //δ// okolí takové, že //ρ//′(//f//(//x//), //f//(//x//₀)) < //ε// pro všechny //ρ// < (//x//, //x//₀).

Zobrazení je **spojíté** pokud je spojité ve šech bodech.

**[[wp>Isometry|Izometrické zobrazení]]** je takové zobrazení, které zachovává vzdálenosti.

===== Úplnost =====
**Úplný metrický prostor** je takový metrický prostor, ve kterém Cauchyovské posloupnost konverguje.

**[[wp>Cauchy sequence|Cauchyovské posloupnost]]** je taková posloupnost, ve které vzdálenost mezi prvky klesá.

===== Banachova věta o pevném bodu =====
Každé kontraktivní zobrazení definované v úplném metrickém prostoru má právě jeden pevný bod.

**Kontraktivní zobrazení** je takové zobrazení vzdálenost obrazů je menší než vzdálenost vzorů.

**Pevný bod zobrazení** je takový bod, který se zobrazí sám na sebe: //f//(//x//) = //x//.