====== Základní algebraické metody ======
===== Podalgebry =====
Pokud omezíme množinu algebry a všechny další vlastnosti zůstanou zachovány, dostáváme **[[wp>Subalgebra|podalgebru]]**.
===== Homomorfismy =====
Zobrazení třeba z (ℂ, +) → (ℝ, ⊕).

//f//(//a// + //b//) = //f//(//a//) ⊕ //f//(//b//)\\
//a//, //b// ∈ ℂ

Když má ta struktura víc operací, musí se dokazovat pro všechny!

**Jádro** jsou ty prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. Pokud má jádro právě jeden prvek, je homomorfizmus injektivní.
===== Přímé součiny =====
  * Lze provést pro //n// algeber téhož typu.
  * Množina hodnot //A// je kartézský součin množin hodnot jednotlivých (//A//₁ × //A//₂ × ... × //Aₙ//) (tj. hodnoty jsou //n//-tice, kde //n//-tý prvek je z množiny hodnot //n//-té algebry).
  * Operace přímého součinu jsou definovány nad //n//-ticemi hodnot tak, že výsledek operace je //n//-tice výsledků příslušných operací jednotlivých algeber nad příslušnými prvky //n//-tic (//n//-tý prvek výsledku se rovná výsledku provedení příslušné operace //n//-té algebry nad //n//-tými prvky vstupu).

//U//₁ = (//A//₁, +), //U//₂ = (//A//₂, ·)\\
//U//₁ × //U//₂ = (//A//₁ × //A//₂, ☆)\\
(//a//₁, //a//₂) ☆ (//b//₁, //b//₂) = (//a//₁ + //b//₁, //a//₂ · //b//₂)
===== Kongruence =====
//g//₁ ≡ //g//₂ ∧ //h//₁ ≡ //h//₂ ⇒ //g//₁ ★ //h//₁ ≡ //g//₂ ★ //h//₂
  * ★ je libovolná operace ve struktuře
  * ≡ znamená **[[wp>Congruence relation|kongruence]]**

Pravá kongruence: //g//₁ ≡ //g//₂ ⇒ //g//₁ ★ //w// ≡ //g//₂ ★ //w//

Aby to vůbec mohla být kongruence, musí platit **relace ekvivalence**!
  - **Reflexivita**: //a// ~ //a//
  - **Symetrie**: //a// ~ //b// ∧ //b// ~ //a//
  - **Tranzitivita**: //a// ~ //b// ∧ //b// ~ //c// ∧ //c// ~ //a//
===== Faktorové algebry =====
FIXME
===== Normální podgrupy =====
Mějme grupu //G// = (//M//, ☆). Pokud vytvoříme novou strukturu //P// = (//N//, ☆), kde //N// ⊂ //M// a //P// je stále grupa, říkáme jí **[[wp>Subgroup|podgrupa]]**.

**[[wp>Normal subgroup|Normální podgrupa]]** je, když //m// ☆ //n// ☆ //m//⁻¹((inverzní prvek)) ∈ //P// (//m// ∈ //M//, //n// ∈ //N//).
===== Ideály okruhů =====
Mějme okruhy (//R//, ⊕, ⊗) a (//I//, ⊕, ⊗) kde //I// ⊂ //R//.

//I// je pak **[[wp>Ideal (ring theory)|ideálem]]** //R//, pokud platí:
  * (//I//, ⊕) je podgrupou (//R//, ⊕)
  * ∀ //x// ∈ //I//, ∀ //r// ∈ //R//: //x// ⊗ //r// ∈ //I// (pravý ideál)
  * ∀ //x// ∈ //I//, ∀ //r// ∈ //R//: //r// ⊗ //x// ∈ //I// (levý ideál)

Pokud platí jen jedna z posledních dvou podmínek, je to //pravý (levý) ideál//.