====== Obory integrity a dělitelnost ======
Obor integrity: (//M//, ⊕, ⊗)
  * (//M//, ⊕) je komutativní grupa
  * (//M//, ⊗) je monoid
  * //a// ⊗ //b// ≠ „0“
===== Okruhy polynomů =====
[[wp>Polynomial ring]]

Mějme komutativní okruh s množinou //M// s "1". Pak ∑ //aₖxᵏ// pro //k// od 0 do ∞ je **polynom neurčité((Tak se říká té proměnné co má mocniny.)) //x// nad //M//** (//aₖ// ∈ //M//).

Prostě 4//a//³ + 8,2//a//² − 5 je //polynom neurčité a nad ℝ//.

  * Polynom ve tvaru //ax// + //b// je to **lineární polynom**.
  * Polynom s největším nenulovým koeficientem rovným "1" (kdyby u příkladu výše nebyla ta 4 na začátku) je **normovaný polynom**.
  * **Stupeň polynomu** je mocnina u nejvyššího "nenulového" koeficientu (v příkladu výše tedy 3). Pokud je polynom jen číslo, tak je stupeň 0 a pokud jen polynom jen "0", tak je jeho stupeň −1.
  * Když položíme polynom rovný "0" a vyřešíme, tak dostaneme jeho **kořeny**.
===== Pravidla dělitelnosti =====
Prvek //a// je dělitelný //b// (značíme //b//|//a//) pokud existuje nějaké //c// kdy //a// = //b// ⊗ //c//.

  * //a//|„0“ ("0" lze dělit čímkoliv)
  * "1"|//a// (cokoli je dělitelné "1")
  * //a//|//a// (cokoli je dělitelné samo sebou)
  * //a//|//b// ∧ //b//|//c// => //a//|//c// (dělitel mého dělitele je i můj dělitel)
  * //a//|//b// => //a//|//bc// (můj dělitel je i dělitel mého násobku)
  * //a//|//b// ∧ //a//|//c// => //a//|(//b// + //c//) (součet je dělitelný společným dělitelem sčítanců)
  * //c// ≠ "0", //a//|//b// => //ac//|//bc// (vynásobením dělence i dělitele stejným nenulovým číslem se dělitelnost nemění)
  * //a//|//b// ∧ //c//|//d// => //ac//|//bd// (vynásobením dělenců mezi sebou a dělitelů mezi sebou se dělitelnost nemění)
  * //a//|//b// => //aⁿ//|//bⁿ// (umocnění dělence i dělitele stejným číslem dělitelnost nemění)

  * Dělitel "1" se označuje jako **jednotka**. Množinu všech jednotek oboru integrity //I// značíme //E//(//I//).
  * **Asociované prvky** se liší jen vynásobením některou jednotkou. Asociované prvky jsou navzájem svými děliteli.
  * **Triviální dělitelé** prvku //a// jsou všechny jednotky a všechny prvky asociované s prvkem //a//.
  * **Vlastní dělitelé** jsou všichni netriviální dělitelé.
  * **Ireducibilní prvek** ma pouze triviální dělitele ("1" a sám sebe, např. prvočísla)
  * Pokud plati: //a//|(//b// ⊗ //c//) => //a//|//b// ∨ //a//|//c// pak je //a// **prvočinitel**.
===== Gaussovy okruhy =====
[[wp>Gauss's lemma (polynomial)]]

Základní vlastností Gaussových okruhů je **jednoznačnost rozkladu na prvočinitele**, tj.  každý prvek, který není "0" nebo "1", je prvočinitelem, nebo ho lze jednoznačně rozložit na součin prvočinitelů.
  * Každý ireducibilní prvek je prvočinitel.
  * Každý neprvočinitel je tvořen součinem určitých počtů (mocnin) různých (neasociovaných) prvočinitelů a jednotky.
  * //a//|//b// <=> //a// se skládá ze stejného nebo menšího počtu výskytů jednotlivých prvočinitelů.

  * **Největší společný dělitel (NSD)**: vezmu všechna prvočísla, která se vyskytují v obou prvočíselných rozkladech (pokud žádné takové není, je největší společný dělitel "1") a u každého použiji minimální mocninu, ve které se vyskytuje. Získávám tím prvočíselný rozklad největšího společného dělitele.
  * **Nejmenší společný násobek (NSN)**: vezmu všechna prvočísla, která se vyskytují v rozkladu prvního nebo druhého čísla a u každého z nich použiji maximální mocninu, ve které se vyskytuje. Získávám tím prvočíselný rozklad nejmenšího společného násobku.
  * **Normované prvky**: když mám množinu rozdělěnou na třídy, použiju jeden jako zástupce celé třídy
===== Eukleidovy okruhy =====
[[wp>Euclidean domain]]

Okruhy na kterých je definováno dělení se zbytkem. Každý Eukleidův okruh je Gaussův okruh.

Dělení se zbytkem:
  * ∀ //a// ∈ //I// \ "0" (dělitel)
  * ∀ //b// ∈ //I// (dělenec)
  * ∃ //q// ∈ //I// (výsledek)
  * ∃ //r// ∈ //I// (zbytek)
  * //b// = //aq// + //r//
  * //r// < //a//
  * [[wp>Euclidean algorithm]]