====== Reprezentace čísel a základní dvojkové aritmetické operace v počítači ====== ===== Doplňkové kódy ===== Slouží pro zápis záporných čísel, kladná zůstavají nezměněná. Stejně jako v přímém kódu slouží 1 na nejvyšším bitu pro identifikaci záporného čísla. Výhodou této reprezentace je, že existuje pouze jeden tvar pro reprezentaci nuly (v přímém je i ''záporná'' nula, např. 10000000) a hlavně pro odečítání není potřeba zvláštního algoritmu, protože funguje stejně jako sčítání. To samozřejmě šetří hardware:-) Postup: Najdi první 1 zprava, zbytek (kromě znaménkového bitu) invertuj. | ''00101010'' |42 v přímém kódu | | ''00101010'' |42 v doplňkovém kódu | | ''10101010'' |−42 v přímém kódu | | ''11010110'' |−42 v doplňkovém kódu| ===== Sčítání ===== To je snad triviální... jen pozor na přenos a přetečení. 0101 5 1001 9 +0100 4 +1010 10 ------- ------- 1001 9 10011 19 ^ Přetečení Sčítat je možné i v doplňkovém kódu. Výsledek pak bude na stejném počtu bitů jako vstup, i když by přenos způsobil přetečení. Pro detekci přetečení se používá XOR dvou nejlevější bitů přenosu - pokud vyjde XOR 1, jde o chybu. 0111 7 v doplňkovém kódu +0001 1 v doplňkovém kódu 0111 Přenos, nejlevější bity 01, FAIL -------- 1000 −8 v doplňkovém kódu, chyba ===== Odčítání ===== Podobné jako sčítání, ale pokud od 0 odečteme 1, výsledek je 1 a musíme odečíst 1 (//vypůjčit si//) i ze sloupečku vlevo. 1001 9 −0101 5 ------- 0100 4 V doplňkovém kódu se čísla normálně sečtou. 01001 9 +11011 −5 v doplňkovém kódu 11011 Přenos, nejlevější bity 11, OK --------- 00100 4 ===== Násobení ===== V základním provedení docela snadné, vychází ze základního principu násobení. Bereme zleva bity z násobitele. Když je bit 0, napíšeme do mezivýsledku tolik 0 koli bitů má násobenec (nebo řádek úplně vynecháme). Když je bit 1, opíšeme do mezivýsledku násobenec. Po každám bitu z násobitele mezivýsledek o jeden bit posuneme vlevo. Nakonec sečteme mezivýsledky. 1011 ×1010 ----- 0000 1011 0000 1011 ------- 1101110 ==== Boothův algoritmus ==== Používá se k násobení dvou čísel v se znaménkem v doplňkovém kódu. Viz [[wpcs>Boothův algoritmus|Wikipedie]]. ===== Pevná řádová čárka ===== V tomto zobrazení definujeme místa před a místa za řádovou čárkou. Dnes už se pro desetinná čísla téměř nepoužívá. Na klasická celá čísla se dá pohlížet jako na čísla s pevnou řádovou čárkou a 0 místy za čárkou. ===== Pohyblivá řádová čárka ===== Při použití pohyblivé řádové čárky se číslo definuje jako: X YYYYYYYY ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ X je znaménkový bit (1 znamená záporné), Y je exponent a Z je tzv. **mantisa**, která je desetinnou částí zlomku. Výsledné číslo se získá jako: (-1)X * 2(exponent v kodu posunute nuly) * (1.Z) Existují některé speciální stavy: * e = 0, f = 0 -> číslo = 0 * e = max, f = 0 -> číslo = nekonečno * e = max, f <> 0 -> číslo = NaN (not a number) Příklad: Máme reprezentaci pomocí čtyř bitů exponentu a osmi bitů mantisy. Chceme vyjádřit číslo -10,8. Nejdřív z tohoto čísla vyhodíme zápor a pak vyhaxujeme exponent, tedy vydělíme ho takovou mocninou 2, aby vzniklo číslo v rozsahu <1,2). 10,8/8 = 1,35. Odsekneme 1. (protože počítáme s tím,ž e tam vždycky je), takže nám jako mantisa vyjde 35. Výsledné číslo v této reprezentaci bude vypadat tedy takto: 1 1000 00100011 (znamenko exponent mantisa). Více dále ve standardech: ===== Standard IEEE 754 ===== Ukládá binární čísla v plovoucí desetinné čárce na 32 bitech (jednoduchá přesnost) nebo 64 bitech (dvojitá přesnost). Dané číslo je rozděleno na základ a exponent. Nejlevější bit je vždy znaménkový, následuje 8 bitů pro exponent a zbylých 23 je základ. Na 64 bitech je rozdělení 1, 11, 52. * [[youtube>atlaD7M30sY|IEEE-754 Single Precision Representation: Part 1 of 2]] * [[youtube>b7u_oFlG4_M|IEEE-754 Single Precision Representation: Part 2 of 2]] ===== Shrnutí ===== * základní jednotka informace: 1 bit (true x false) * => počítače pracují ve dvojkové soustavě * přímý kód: první bit ukazuje znaménko čísla, odečítání je jiný postup než sčítání * doplňkový kód: první bit také ukazuje znaménko, ale převod z kladného na záporné: znegovat všechny bity nalevo od první jedničky zprava * doplněk jedničky: obsahuje zápornou nulu, dvojkový doplněk: záporná nula není * odečítání v doplňkovém formátu: druhé číslo se převede na záporné a sčítání pak funguje úplně stejně (pozor na přetečení), čili výhodnější formát * kód posunuté nuly: od čísla se při reprezentaci odečte polovina rozsahu (např. u floatů v exponentu) * desetinná čísla: vědět, jak to funguje, znaménko, exponent, mantisa * pevná řádová čárka: používá se dnes jen pro celá čísla * IEEE 754: definuje aritmetiku pro plovoucí řádovou čárku, single precision (32bit), double precision (64bit), pak ještě základní a dvojité rozšíření -- to druhé se běžně používá o délce 80bit v dnešních FPU