====== Transformace, reprezentace a zobrazení 3D objektů ======
Geometrické transformace jsou jedny z nejčetnějších operací v současné počítačové grafice. Můžeme je chápat jako změnu pozice vrcholů v aktuálním souřadnicovém systému nebo jako změnu souřadnicového systému.
===== Homogenní souřadnice =====
[[wp>Homogeneous coordinates]]

Jsou zavedeny kvůli jednotné manipulaci se všemi transformačními maticemi, protože v případě karteziánských souřadnic by jsme u posunutí použili sčítání a u ostatních operací zas násobení. Takhle všude použijeme násobení matic, tj. jednotný způsob (ulehčí implementaci).

**Definice: ** Homogenní souřadnice bodu v 3D s karteziánskymi souřadnicemi [x,y,z] je uspořádána čtveřice [X,Y,Z,w] pro kterou platí x=X/w, y=Y/w, z=Z/w. Bod je svými homogenními souřadnicemi určen jednoznačně. Souřadnici w nazýváme váhou bodu. Hodnota této váhy je w=1 v případě lineárních transformací.

<note important>Důležitý termín je **[[wp>Euclidean vector|vektor]]**. Vektor je veličina, která má kromě velikosti i směr. Jinými slovy, je to skalár který má i směr.</note>

===== Transformace =====
http://wally.cs.iupui.edu/n351/3D/matrix.html

Používá se [[wp>Matrix multiplication|násobení matic]]. Bod, který chceme transformovat, má matici //P(x, y, z, w)//, kde //x//, //y//, //z// jsou jeho souřadnice, //w// je 1 pokud je to bod, 0 pokud je to vektor.

Tansformační matice je pak matice 4 × 4:\\
<m>delim{[}{matrix{4}{4}{a_11 a_12 a_13 0 a_21 a_22 a_23 0 a_31 a_32 a_33 0 a_41 a_42 a_43 1}}{]}</m>

Transformace je pak tedy: //P' = P ×  M//\\
<m>delim{[}{matrix{1}{4}{{x prime} {y prime} {z prime} 1}}{]} = delim{[}{matrix{1}{4}{x y z 1}}{]} * delim{[}{matrix{4}{4}{a_11 a_12 a_13 0 a_21 a_22 a_23 0 a_31 a_32 a_33 0 a_41 a_42 a_43 1}}{]}</m>

Transformace je pak možné i skládat, provádí se to násobením transformačních matic mezi sebou. A protože jde o násobení matic, záleží na pořadí.

==== Posunutí ====
<m>delim{[}{matrix{4}{4}{1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 d_x d_y d_z 1}}{]}</m>

Pro posun v opačném směru budou koeficienty //d// záporné.

==== Změna velikosti ====
<m>delim{[}{matrix{4}{4}{S_x 0 0 0 0 S_y 0 0 0 0 S_z 0 0 0 0 1}}{]}</m>

Pro zmenšení místo //S// použít 1///S//.

==== Rotace ====
<m>R_x = delim{[}{matrix{4}{4}{1 0 0 0 0 {cos alpha} {sin alpha} 0 0 {-sin alpha} {cos alpha} 0 0 0 0 1}}{]}</m>

<m>R_y = delim{[}{matrix{4}{4}{{cos alpha} 0 {sin alpha} 0 0 1 0 0 {-sin alpha} 0 {cos alpha} 0 0 0 0 1}}{]}</m>

<m>R_z = delim{[}{matrix{4}{4}{{cos alpha} {sin alpha} 0 0 {-sin alpha} {cos alpha} 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1}}{]}</m>

==== Zkosení ====
<m>Sh_YZ = delim{[}{matrix{4}{4}{1 Sh_y Sh_z 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1}}{]}</m>

<m>Sh_XZ = delim{[}{matrix{4}{4}{1 0 0 0 Sh_x 1 Sh_z 0 0 0 1 0 0 0 0 1}}{]}</m>

<m>Sh_XY = delim{[}{matrix{4}{4}{1 0 0 0 0 1 0 0 Sh_x Sh_y 1 0 0 0 0 1}}{]}</m>

===== Reprezentace =====
Požadavky na modely:
  * Obecnost (popis co nejrozsáhlejší třídy objektů)
  * Úplnost (úpně popisuje daný objekt)
  * Jednoznačnost (lze vyhodnotit pouze jedním způsobem)
  * Unikátnost, jedinečnost (jednomu tělesu odpovídá jeden model)
  * Přesnost (popisu objektu)
  * Regulérnost (nemožnost vytvořit nereálnou reprezentaci)
  * Konzistence vůči vybraným operacím tělesa stejné třídy
  * Kompaktnost (malá paměťová náročnost)
  * Možnost efektivního zpracování

  * Manifold objekty -- vyrobitelné((Každá hrana spojuje právě dvě plochy)); nonmanifold -- nevyrobitelné
  * Eulerove rovnice -- kontrola topologie objektu
  * Eulerove operátory -- realizace změn topologie objektu
==== Metody reprezentace ====
=== Konstruktivní geometrie (CSG) ===
[[wp>Constructive solid geometry]]

Objekt je popsán stromem složeným z 3D primitiv, transformací a booleovských operací (uzly stromu).

=== Šablonování ===
Transformace (posun) 2D profilu po přímce, křivce nebo s měnícím se objemem (potahování) nebo rotace.

=== Dekompoziční modely ===
{{ http://www.effectware.com/download/images/efx_voxel2.jpg|Voxelová konvička}}
[[wp>Voxel]]

Diskrétní popis objektu dekompozicí jím obsaženého objemu na elementární objemové jednotky -- krychle (voxel = pixel v 3D). Uložení dat -- oktalový strom, 3D pole diskrétních hodnot nebo subvoxely. Vykreslení -- algoritmus [[wp>Marching cubes]]. Na obrázku je porovnání voxelové a polygonální konvičky (tady voxely nejsou vyhlazené přes cubes).

=== B-rep = Boundary representation ===
[[wp>Polygon mesh]]

Objekt je popsán hranicemi. 
  * Drátový (nejsem si jistá jak je to česky) model - popis pomocí vrcholů a hran
  * Polygonální model -- popis pomocí vrcholů, hran a stěn. Pro popis v PC -- okřídlená hrana (3 lineární senzamy -- vrcholů, hran, stěn)
  * Hraniční spline model -- popis pomocí vrcholů, hran a stěn (spline plochy)

=== 3D plochy ===
Plocha je definována bázovým polynomem a sítí bodů (matice).
  * Bikubické plochy -- interpolační, analogie Fergusonových křivek, matice 4×4 řídících bodů, spojitost plátů
  * Beziérové plochy -- aproximační, analogie Beziérových křivek, matice 4×4 řídících bodů, spojitost plátů
  * NURBS plochy -- aproximační, analogie NURBS křivek, matice 4×4 řídících bodů

=== Implicitní plochy ===
[[wp>Metaballs]]

Modelování pomocí kostry kolem které je potenciální pole - určuje povrch objektu.
===== Zobrazení =====
==== Ray tracing ====
[[wp>Ray tracing (graphics)]]

Z mřížky jsou vystřelovány paprsky do scény, kde se různě odráží a pohlcují. Přitom se sleduje jejich barva.

{{ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Ray_trace_diagram.svg/500px-Ray_trace_diagram.svg.png }}

==== Photon mapping ====
[[wp>Photon mapping]]

Pokročilá metoda, a výpočetně velice náročná, proto se většinou sama o sobě nepoužívá, ale slouží jen jako pomůcka pro [[wp>Global illumination|globální iluminaci]] a [[wp>ambient occlusion]].

Funguje to tak, že do scény jsou ze světel vystřeleny fotony. Pokud foton narazí na polygon, v závislosti na materiálu se od něj buď část jeho energie pohltí (čímž na něm udělá "flek" podle jeho intenzity) a odrazí se od něj dál do scény, nebo jím projde (např. sklo). Čím více odrazů fotonu povolíme, tím déle výpočet trvá, ale tím je přesnější. Z výše uvedeného plyne, že fotony se málo kdy dostanou do ostrých rohů, čímž se sama vyřešila AO, a pokud nebudeme energii fotonu brát jen jako jednorozměrné číslo, ale třeba jako RGB hodnoty, vyřeší se tím i GI. Výsledkem metody je pak fotonová mapa, což si lze představit jako flekatou texturu.

{{ http://jgt.akpeters.com/papers/Christensen99/Fig1b.jpg |Fotonová mapa}}

==== Z-buffer ====
[[wp>Z-buffering]]

Ukládá informace o hloubce objektů ve scéně. Není to přímo vykreslovací metoda, ale spíš způsob řešení viditelnosti.

{{ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Z_buffer.svg/500px-Z_buffer.svg.png }}

===== Shrnutí =====
  * transformace: změna souřadnic bodů v systému ve smyslu posunu, otočení, změny velikosti nebo třeba zešikmení
  * homogenní souřadnice: abychom mohli všechny transformace dělat pomocí násobení matic, přidáváme k xyz ještě váhu (w), platí, že x = X/w
  * násobení matic: záleží na pořadí, počítá se zprava!
  * znát ty tranformační matice, ale asi o tom přímo nemluvit
  * reprezentace: požadavky na modely jsou dost nechutné:(
  * CSG: strom, listy jsou primitiva, uzly pak booleovské operace, paměťově výhodné
  * šablonování: ideálně nakreslit profil pinčla a vysvětlit, že 3D model uděláme orotováním kolem osy
  * dekompoziční modely: voxely, uloženy ve stromové struktuře, marching cubes (neumět, jen zmínit), použitelné třeba na medicínská data
  * 3D plochy: polygonální model, wireframe, 3D plochy (podobně jako křivky ve 2D)
  * implicitní plochy: kostra s potenciálním povrchem, metaballs
  * zobrazení: ray casting nebo z-buffer pro řešení viditelnosti, ray tracing pro zobrazení (náročné), photon mapping pro získávání světelných map, radiosita: nejhezčí, nejnáročnější (plošky mohou vyzařovat světlo)
  * osvětlovací model: je dobré vědět, že existuje nějaký Phongův, který je leet